امید ریاضی

در این مطلب بصورت خلاصه با مثال‌های کاربردی به شرح امید ریاضی - ممان مرتبه‌ی nام و کاربرد آنها خواهیم پرداخت.

برابر با حد متوسط یا به عبارتی میانگینی از احتمال رخ دادن یک متغیر تصادفی است.

E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (x_{i})

گشتاورها یا Moments

شاخص‌هایی هستند که خصوصیات توابع توزیع احتمال یا PDF ها را توصیف می‌کنند. فرمول زیر فرمول کلی محاسبه‌ی گشتاور kام است.

μ_{n} = E (X - μ)^{k} = i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{k} P (x_{i})

گشتاور صفرم برای یک متغیر تصادفی، برابر با کل احتمال یا مقدار ۱ است. گشتاور اول بیانگر میانگین و گشتاور مرکزی دوم نیز واریانس (Variance) را مشخص می‌کند. گشتاورهای سوم و چهارم نیز متناسب با چولگی و کشیدگی توزیع احتمال متغیر تصادفی خواهند بود.

گشتاور اول: میانگین
Mean: 1st Raw Moment

E (X) = i = 1 \sum n x_{i} P (x_{i})

گشتاور دوم: واریانس یا پراکندگی
Variance: 2nd Central Moment

v a r ian ce = σ^{2} = E (X - μ)^{2} = i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2} P (x_{i})

گشتاور سوم استاندارد شده: چولگی
Skewness: Standradized 3nd Central Moment

s k e w n ess = \frac{E ( X - μ ) ^{3}}{σ ^{3}} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - μ ) ^{3} P ( x _{i} )}{σ ^{3}}

گشتاور چهارم استاندارد شده: کشیدگی
Kurtosis: Standardized 4nd Central Moment

s k e w n ess = \frac{E ( X - μ ) ^{4}}{σ ^{4}} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - μ ) ^{4} P ( x _{i} )}{σ ^{4}}

امید ریاضی

گشتاورها یا Moments

گشتاور اول: میانگین Mean: 1st Raw Moment

گشتاور دوم: واریانس یا پراکندگی Variance: 2nd Central Moment

گشتاور سوم استاندارد شده: چولگی Skewness: Standradized 3nd Central Moment

گشتاور چهارم استاندارد شده: کشیدگی Kurtosis: Standardized 4nd Central Moment

گشتاور اول: میانگین
Mean: 1st Raw Moment

گشتاور دوم: واریانس یا پراکندگی
Variance: 2nd Central Moment

گشتاور سوم استاندارد شده: چولگی
Skewness: Standradized 3nd Central Moment

گشتاور چهارم استاندارد شده: کشیدگی
Kurtosis: Standardized 4nd Central Moment